[Topology] 위상수학 Practice (1.1.1 - 1.1.9)
1. \(X=\{a, b, c, d, e, f\}\)라 하자. \(X\)의 부분집합들의 다음 모임이 각각 \(X\) 위의 위상인지 결정하시오.
(a) \(\mathcal{T}_1=\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, f\}, \{b, f\}, \{a, b, f\}\}\)
(b) \(\mathcal{T}_2=\{X, \emptyset, \{a, b, f\}, \{a, b, d\}, \{a, b, d, f\}\}\)
(c) \(\mathcal{T}_3=\{X, \emptyset, \{f\}, \{e, f\}, \{a, f\}\}\)
Solution
(a) \(\{a, f\} \cap \{b, f\}=\{f\}\)이 \(\mathcal{T}_1\)에 속하지 않기 때문에 위상이 아니다.
(b) \(\{a, b, f\} \cap \{a, b, d\}=\{a, b\}\)이 \(\mathcal{T}_2\)에 속하지 않기 때문에 위상이 아니다.
(c) \(\{e, f\} \cup \{a, f\}=\{a, e, f\}\)이 \(\mathcal{T}_3\)에 속하지 않기 때문에 위상이 아니다.
2. \(X=\{a, b, c, d, e, f\}\)라 하자. \(X\)의 부분집합들의 다음 모임 중 어떤 것이 \(X\) 위의 위상인가?
(a) \(\mathcal{T}_1=\{X, \emptyset, \{c\}, \{b, d, e\}, \{b, c, d, e\}, \{b\}\}\)
(b) \(\mathcal{T}_2=\{X, \emptyset, \{a\}, \{b, d, e\}, \{a, b, d\}, \{a, b, d, e\}\}\)
(c) \(\mathcal{T}_3=\{X, \emptyset, \{b\}, \{a, b, c\}, \{d, e, f\}, \{b, d, e, f\}\}\)
Solution
(a) \(\{c\} \cup \{b\}=\{b, c\}\)이 \(\mathcal{T}_1\)에 속하지 않기 때문에 위상이 아니다.
(b) \(\{b, d, e\} \cap \{a, b, d\}=\{b, d\}\)이 \(\mathcal{T}_2\)에 속하지 않기 때문에 위상이 아니다.
(c) 위상이다.
3. \(X=\{a, b, c, d, e, f\}\)이고 \(\mathcal{T}\)가 \(X\) 위의 이산위상이라 하자. 다음 중 참인 것은?
(a) \(X \in \mathcal{T}\); (b) \(\{X\} \in \mathcal{T}\); (c) \(\{\emptyset\}\in\mathcal{T}\); (d) \(\emptyset \in \mathcal{T}\)
(e) \(\emptyset \in X\); (f) \(\{\emptyset\} \in X\); (g) \(\{a\} \in \mathcal{T}\); (h) \(a \in \mathcal{T}\)
(i) \(\emptyset \subseteq X\); (j) \(\{a\} \in X\); (k) \(\{\emptyset\} \subseteq X\); (l) \(a \in X\)
(m) \(X \subseteq \mathcal{T}\); (n) \(\{a\} \subseteq \mathcal{T}\); (o) \(\{X\} \subseteq \mathcal{T}\); (p) \(a \subseteq \mathcal{T}\)
Solution
\(X\)와 관련된 명제: (a) \(X \in \mathcal{T}\), (o) \(\{X\} \subseteq \mathcal{T}\)
\(\emptyset\)과 관련된 명제: (d) \(\emptyset \in \mathcal{T}\), (i) \(\emptyset \subseteq X\)
\(X\)의 어떤 원소와 관련된 명제: (g) \(\{a\} \in \mathcal{T}\), (l) \(a \in X\)
위의 6개((a), (d), (g), (i), (l), (o))가 참이다.
4. \((X, \mathcal{T})\)가 위상공간이라 하자. \(\mathcal{T}\)의 유한개의 원소들의 교집합은 \(\mathcal{T}\)의 원소임을 증명하시오.
Solution
명제 \(P(n)\)을 "\(\mathcal{T}\)의 임의의 \(n\)개 원소들의 교집합이 \(\mathcal{T}\)의 원소이다."로 정의하자. 수학적 귀납법을 사용하여 \(P(n)\)이 \(2\) 이상의 모든 자연수 \(n\)에 대해 참임을 보이고자 한다.
귀납기저로서 \(n=2\)를 선택하면 위상의 조건 (iii)에 의해 \(P(2)\)는 참이다.
귀납과정의 귀납가설로 \(2\) 이상의 자연수 \(k\)에 대하여 \(P(k)\)가 참임을 가정하자. 이제, \(\mathcal{T}\)의 임의의 \(k+1\)개 원소 \(S_1, S_2, ..., S_{k+1}\)를 생각하자. 교집합의 결합법칙에 의해 \[\bigcap_{1\leq i\leq k+1} S_i=(\bigcap_{1\leq i \leq k} S_i) \cap S_{k+1}\]이 성립함에 주목하라. \(P(k)\)가 참이므로 앞의 \(k\)개 원소들의 교집합은 \(\mathcal{T}\)의 원소이다. 이를 \(S\)라 하자. 그러면 \(S\)와 \(S_{k+1}\)은 모두 \(\mathcal{T}\)의 원소이므로 위상의 조건 (iii)에 의해 \(S \cap S_{k+1}\) 역시 \(\mathcal{T}\)의 원소이다. 따라서 \(P(k+1)\)도 참이다.
이상에서 \(\mathcal{T}\)의 유한개의 원소들의 교집합은 \(\mathcal{T}\)의 원소이다.
5. \(\mathbb{R}\)의 부분집합들의 다음 모임이 위상임을 증명하시오.
(i) \(\mathcal{T}_1=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{(-n, n): n\)은 양의 정수\(\}\)
(ii) \(\mathcal{T}_2=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{[-n, n]: n\)은 양의 정수\(\}\)
(iii) \(\mathcal{T}_3=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{[n, \infty): n\)은 양의 정수\(\}\)
Solution
위상의 조건 (i)은 모두 만족한다.
위상의 조건 (ii)에서, \(\mathbb{R}\)이나 \(\emptyset\)이 합집합에 포함되는 경우는 자명한 결과를 얻으므로, 나머지 집합들 사이의 임의 합집합만 확인해 보아도 충분하다. \(\mathcal{T}_1\)의 경우, 집합들 중 \(n\)의 최댓값 \(M\)이 존재한다면 결과는 \((-M, M)\), 그렇지 않다면 \(\mathbb{R}\)이 된다. \(\mathcal{T}_2\)의 경우, 집합들 중 \(n\)의 최댓값 \(M\)이 존재한다면 결과는 \([-M, M]\), 그렇지 않다면 \(\mathbb{R}\)이 된다. \(\mathcal{T}_3\)의 경우, \(n\)은 양의 정수이므로 항상 최솟값 \(N\)을 갖고, 이 경우 합집합은 \([N, \infty)\)가 된다. 이들은 모두 각 집합족의 원소이다.
위상의 조건 (iii)에서, \(\mathbb{R}\)이나 \(\emptyset\)이 교집합에 포함되는 경우는 자명한 결과를 얻으므로, 나머지 집합 중 두 집합의 교집합만 확인해 보아도 충분하다. 일반성을 잃지 않고 \(n_1 < n_2\)라 하자. \(\mathcal{T}_1\)의 경우 \((-n_1, n_1) \cap (-n_2, n_2)=(-n_1, n_1)\), \(\mathcal{T}_2\)의 경우 \([-n_1, n_1] \cap [-n_2, n_2] = [-n_1, n_1]\), \(\mathcal{T}_3\)의 경우 \([n_1, \infty) \cap [n_2, \infty)=[n_2, \infty)\)이다. 이들은 모두 각 집합족의 원소이다.
이상에서 세 집합족 모두 위상의 조건 (i), (ii), (iii)을 만족한다.
6. \(\mathbb{N}\)의 부분집합들의 다음 모임이 위상임을 증명하시오.
(i) 첫조각위상 \(\mathcal{T}_1=\{\mathbb{N}, \emptyset\} \cup \{\{1, 2, ..., n\}:n\)은 양의 정수\(\}\)
(ii) 끝조각위상 \(\mathcal{T}_2=\{\mathbb{N}, \emptyset\} \cup \{\{n, n+1, ...\}:n\)은 양의 정수\(\}\)
Solution
위상의 조건 (i)은 모두 만족한다.
위상의 조건 (ii)에서, \(\mathbb{N}\)이나 \(\emptyset\)이 합집합에 포함되는 경우는 자명한 결과를 얻으므로, 나머지 집합들 사이의 임의 합집합만 확인해 보아도 충분하다. \(\mathcal{T}_1\)의 경우, 집합들 중 \(n\)의 최댓값 \(M\)이 존재한다면 결과는 \(\{1, 2, ..., M\}\), 그렇지 않다면 \(\mathbb{N}\)이 된다. \(\mathcal{T}_2\)의 경우, \(n\)은 양의 정수이므로 항상 최솟값 \(N\)을 갖고, 이 경우 합집합은 \(\{N, N+1, ...\}\)이 된다. 이들은 모두 각 집합족의 원소이다.
위상의 조건 (iii)에서, \(\mathbb{N}\)이나 \(\emptyset\)이 교집합에 포함되는 경우는 자명한 결과를 얻으므로, 나머지 집합 중 두 집합의 교집합만 확인해 보아도 충분하다. 일반성을 잃지 않고 \(n_1<n_2\)라 하자. \(\mathcal{T}_1\)의 경우 \(\{1, 2, ..., n_1\} \cap \{1, 2, ..., n_2\}=\{1, 2, ..., n_1\}\)이고, \(\mathcal{T}_2\)의 경우 \(\{n_1, n_1+1, ...\} \cap \{n_2, n_2+1, ...\}=\{n_2, n_2+1, ...\}\)이다. 이들은 모두 각 집합족의 원소이다.
이상에서 \(\mathcal{T}_1\)과 \(\mathcal{T}_2\) 모두 위상의 조건 (i), (ii), (iii)을 만족한다.
7. 다음 집합 위의 모든 위상을 열거하시오.
(a) \(X=\{a, b\}\)
(b) \(Y=\{a, b, c\}\)
Solution
(a) 위상의 원소가 \(2\)개인 경우: \(\mathcal{T}_1=\{\emptyset, \{a, b\}\}\)
위상의 원소가 \(3\)개인 경우: \(\mathcal{T}_2=\{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\), \(\mathcal{T}_3=\{\emptyset, \{b\}, \{a, b\}\}\)
위상의 원소가 \(4\)개인 경우: \(\mathcal{T}_4=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}\)
이상에서 \(4\)개의 위상이 존재한다.
(b) 위상의 원소가 \(2\)개인 경우: \(\mathcal{T}_1=\{\emptyset, \{a, b, c\}\}\)
위상의 원소가 \(3\)개인 경우: \(\mathcal{T}_2=\{\emptyset, \{a\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_3=\{\emptyset, \{b\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_4=\{\emptyset, \{c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_5=\{\emptyset, \{a, b\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_6=\{\emptyset, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_7=\{\emptyset, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\)
위상의 원소가 \(4\)개인 경우: \(\mathcal{T}_8=\{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_9=\{\emptyset, \{a\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{10}=\{\emptyset, \{b\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{11}=\{\emptyset, \{b\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{12}=\{\emptyset, \{c\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{13}=\{\emptyset, \{c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{14}=\{\emptyset, \{a\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{15}=\{\emptyset, \{b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{16}=\{\emptyset, \{c\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}\}\)
위상의 원소가 \(5\)개인 경우: \(\mathcal{T}_{17}=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{18}=\{\emptyset, \{a\}, \{c\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{19}=\{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{20}=\{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{21}=\{\emptyset, \{b\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{22}=\{\emptyset, \{c\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\)
위상의 원소가 \(6\)개인 경우: \(\mathcal{T}_{23}=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{24}=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{25}=\{\emptyset, \{a\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{26}=\{\emptyset, \{a\}, \{c\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{27}=\{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\), \(\mathcal{T}_{28}=\{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\)
위상의 원소가 \(8\)개인 경우: \(\mathcal{T}_{29}=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}\)
이상에서 \(29\)개의 위상이 존재한다.
8. \(X\)는 무한집합이고 \(\mathcal{T}\)는 \(X\) 위의 위상이라 하자. \(X\)의 모든 무한 부분집합들이 \(\mathcal{T}\)에 속하면, \(\mathcal{T}\)가 이산위상임을 증명하시오.
Solution
임의의 \(a \in X\)에 대하여, \(\{a\}\)의 여집합 \(Y=X \backslash \{a\}\)도 무한집합이다. \(Y\)가 가산무한집합이면 첨수집합을 \(\mathbb{N}\)으로 잡아 \(Y\)의 원소 \(y_n\)에 대하여 \(n\)이 홀수이면 \(y_n \in A\), 짝수이면 \(y_n \in B\)가 되도록 두 집합 \(A\)와 \(B\)를 잡을 수 있고, 이때 \(A\)와 \(B\)는 교집합이 공집합인 가산무한집합들이다. \(Y\)가 비가산집합이면 가산무한집합 \(A \subseteq Y\)를 잡을 수 있고, \(Y \backslash A=B\)로 잡으면 \(A\)와 \(B\)는 교집합이 공집합인 무한집합들이다.
이제, \(A \cup \{a\}\)와 \(B \cup \{a\}\)도 무한집합이므로 \(\mathcal{T}\)에 속한다. 그러면 위상의 조건 (iii)에 의해 두 집합의 교집합인 \(\{a\}\)도 \(\mathcal{T}\)에 속한다. 모든 단집합을 포함하는 위상은 이산위상이므로, \(\mathcal{T}\)는 이산위상이다.
9. \(\mathbb{R}\)의 부분집합들의 다음 10개의 모임 중 정확히 3개가 위상임을 확인하여라.
(i) \(\mathcal{T}_1=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{(a, b): a\)와 \(b\)는 \(a<b\)인 모든 실수\(\}\)
(ii) \(\mathcal{T}_2=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{(-r, r): r\)은 양의 실수\(\}\)
(iii) \(\mathcal{T}_3=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{(-r, r): r\)은 양의 유리수\(\}\)
(iv) \(\mathcal{T}_4=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{[-r, r]: r\)은 양의 유리수\(\}\)
(v) \(\mathcal{T}_5=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{(-r, r): r\)은 양의 무리수\(\}\)
(vi) \(\mathcal{T}_6=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{[-r, r]: r\)은 양의 무리수\(\}\)
(vii) \(\mathcal{T}_7=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{[-r, r): r\)은 양의 실수\(\}\)
(viii) \(\mathcal{T}_8=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{(-r, r]: r\)은 양의 실수\(\}\)
(ix) \(\mathcal{T}_9=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{[-r, r], (-r, r): r\)은 양의 실수\(\}\)
(x) \(\mathcal{T}_{10}=\{\mathbb{R}, \emptyset\} \cup \{[-n, n], (-r, r): n\)은 양의 정수, \(r\)은 양의 실수\(\}\)
Solution
\(\mathcal{T}_1\)의 경우, \((1, 2), (3, 4) \in \mathcal{T}_1\)이지만 합집합 \((1, 2) \cup (3, 4) \notin \mathcal{T}_1\)이므로 위상이 아니다. \(\mathcal{T}_3\), \(\mathcal{T}_5\)의 경우, 유리수와 무리수의 조밀성에 의해 합집합이 임의의 실수 \(r\)에 대해 \((-r, r)\)이 되도록 할 수 있으므로 위상이 아니다. \(\mathcal{T}_4\), \(\mathcal{T}_6\), \(\mathcal{T}_7\), \(\mathcal{T}_8\)의 경우, 닫힌구간의 임의 합집합은 열린구간일 수 있으므로 위상이 아니다.
이상에서 위상으로 가능한 집합족은 \(\mathcal{T}_2\), \(\mathcal{T}_9\), \(\mathcal{T}_{10}\)이고, 이들은 실제로 위상의 조건을 모두 만족한다.