Topology/Practice

[Topology] 위상수학 Practice (2.1.1 - 2.1.8)

파이시스 2024. 1. 29. 18:10

 

 

 

 

1. \(a, b \in \mathbb{R}\), \(a<b\)일 때, \([a, b)\)와 \((a, b]\)는 \(\mathbb{R}\)의 열린집합이 아님을 증명하시오. 또한 \([a, b)\)와 \((a, b]\)는 닫힌집합도 아님을 증명하시오.

 

Solution

 \([a, b)\)에 대하여, 점 \(a\)를 포함하는 임의의 열린구간 \((c, d)\)는 \(c<a\)이므로 \((c, d) \nsubseteq [a, b)\)이다. 같은 방법으로, \((a, b]\)에 대하여, 점 \(b\)를 포함하는 임의의 열린구간 \((c, d)\)는 \(d>b\)이므로 \((c, d) \nsubseteq (a, b]\)이다. 따라서 열린집합이 아니다.

 \([a, b)\)의 여집합은 \((-\infty, a) \cup [b, \infty)\)인데, 점 \(b\)를 포함하는 임의의 열린구간 \((c, d)\)는 \(c<b\)이므로 \((-\infty, a) \cup [b, \infty)\)의 부분집합이 아니다. 마찬가지로 \((a, b]\)의 여집합은 \((-\infty, a] \cup (b, \infty)\)인데, 점 \(a\)를 포함하는 임의의 열린구간 \((c, d)\)는 \(d>a\)이므로 \((-\infty, a] \cup (b, \infty)\)의 부분집합이 아니다. 따라서 닫힌집합도 아니다.

 

 

2. 집합 \([a, \infty)\)와 \((-\infty, a]\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합임을 증명하시오.

 

Solution

 \([a, \infty)\)의 여집합은 \((-\infty, a)\)이다. 임의의 \(x \in (-\infty, a)\)에 대하여, 열린구간 \((x-1, (x+a)/2)\)가 존재하여 \((-\infty, a)\)의 부분집합이다. 따라서 \((-\infty, a)\)는 열린집합이고 \([a, \infty)\)는 닫힌집합이다. 같은 방법으로, \((-\infty, a]\)의 여집합은 \((a, \infty)\)이다. 임의의 \(x \in (a, \infty)\)에 대하여, 열린구간 \(((x+a)/2, x+1)\)이 존재하여 \((a, \infty)\)의 부분집합이다. 따라서 \((a, \infty)\)는 열린집합이고 \((-\infty, a]\)는 닫힌집합이다.

 

 

3. \(\mathbb{R}\)의 무한개의 닫힌 부분집합들의 합집합은 반드시 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합은 아님을 보이시오.

 

Solution

 임의의 자연수 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여, \([1/n, \infty)\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합이다. 그러나 \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} [1/n, \infty)=(0, \infty)\)의 여집합 \((-\infty, 0]\)은 \(0\)을 포함하는 임의의 열린구간 \((a, b)\)에 대하여 \(b>0\)이므로 열린집합이 아니다. 따라서 \((0, \infty)\)는 닫힌집합이 아니다.

 

 

4. 다음 각각의 명제를 증명하시오.

 (i) 정수집합 \(\mathbb{Z}\)는 \(\mathbb{R}\)의 열린 부분집합이 아니다.

 (ii) 소수집합 \(S\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합이지만 \(\mathbb{R}\)의 열린 부분집합은 아니다.

 (iii) 무리수집합 \(\mathbb{P}\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합도 아니고 열린 부분집합도 아니다.

 

Solution

 (i) 정수집합 \(\mathbb{Z}\)의 원소 \(0\)에 대하여, \(0\)을 포함하는 임의의 열린구간 \((a, b)\)에 대하여 \(a<0\)이고 \(b>0\)이므로 \((a, b) \nsubseteq \mathbb{Z}\)이다. 따라서 \(\mathbb{Z}\)는 열린집합이 아니다.

 (ii) 소수집합 \(S\)의 원소 \(2\)에 대하여 (i)과 같은 논의로 \(S\)는 열린집합이 아니다. 반면, 여집합 \(\mathbb{R} \backslash S\)는 \((-\infty, 2)\), \((2, 3)\), \((3, 5)\), ..., \((p_n, p_{n+1})\), ...와 같은 열린집합들의 합집합으로 나타낼 수 있으므로 \(S\)는 닫힌집합이다.

 (iii) \(\mathbb{P}\)의 원소 \(\sqrt{2}\)에 대하여, \(\sqrt{2}\)를 포함하는 임의의 열린구간 \((a, b)\)에 대하여 \(a < \sqrt{2}\)이고 \(a\)와 \(\sqrt{2}\) 사이에 유리수가 존재하므로 \(\mathbb{P}\)는 열린집합이 아니다. 또한, 여집합인 유리수집합 \(\mathbb{Q}\)의 원소 \(0\)에 대하여, \(0\)을 포함하는 임의의 열린구간 \((a, b)\)에 대하여 \(a<0\)이고 \(a\)와 \(0\) 사이에 무리수가 존재하므로 \(\mathbb{Q}\)는 열린집합이 아니다. 따라서 \(\mathbb{P}\)는 닫힌집합도 아니다.

 

 

5. 만약 \(F\)가 \(\mathbb{R}\)의 공집합이 아닌 유한부분집합이면, \(F\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합이지만 열린 부분집합은 아님을 보이시오.

 

Solution

 \(F\)가 유한부분집합이므로, 점의 개수를 \(n\)이라 하면 \(x_1 < x_2 < ... < x_n\)을 만족하도록 \(F\)의 점들을 나열할 수 있다. 이때, \(F\)의 한 점 \(x_1\)에 대하여, \(x_1\)을 포함하는 임의의 열린구간 \((a, b)\)는 \(a<x_1\)을 만족하므로 \((a, b) \nsubseteq F\)이다. 따라서 \(F\)는 열린집합이 아니다. 반면, 여집합은 \(\mathbb{R} \backslash F=(-\infty, x_1) \cup \bigcup_{k=1}^{n-1} (x_k, x_{k+1}) \cup (x_n, \infty)\)로 나타낼 수 있으므로 열린집합이다. 따라서 \(F\)는 닫힌집합이다.

 

 

6. 만약 \(F\)가 \(\mathbb{R}\)의 공집합이 아닌 가산부분집합이면, \(F\)는 열린집합은 아니지만, \(F\)의 선택에 따라 닫힌집합이 될 수도 있고 아닐 수도 있음을 증명하시오.

 

Solution

 \(F\)의 점 \(x\)에 대하여, \(x\)를 포함하는 열린구간 \((a, b)\)가 존재하여 \((a, b) \subseteq F\)라면, \((a, b)\)에 속하는 점의 개수는 비가산이므로 \(F\)가 비가산집합이 되어 모순이다. 따라서 \(F\)는 열린집합은 아니다. 한편, \(F\)를 정수집합 \(\mathbb{Z}\)로 선택하면 \(F\)는 닫힌집합이지만, 유리수집합 \(\mathbb{Q}\)로 선택하면 닫힌집합도 아니다. 따라서 \(F\)의 선택에 따라 닫힌집합 여부는 달라진다.

 

 

7. (i) \(S=\{0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, ...\}\)라 하자. 집합 \(S\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합임을 증명하시오.

 (ii) \(T=\{1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, ...\}\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합인가?

 (iii) \(\{\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, ..., n\sqrt{2}, ...\}\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합인가?

 

Solution

 (i) 임의의 \(x \notin S\)에 대하여, \(x<0\)이라면 \((x-1, x/2)\)를, \(x>1\)이라면 \(((x+1)/2, x+1)\)을 열린구간으로 잡을 수 있다. \(0<x<1\)이라면 \((1/\lceil 1/x \rceil, 1/\lfloor 1/x \rfloor)\)을 열린구간으로 잡을 수 있다. 따라서 \(S\)는 닫힌집합이다.

 (ii) \(\mathbb{R} \backslash T\)의 점 \(0\)에 대하여, \(0\)을 포함하는 임의의 열린구간 \((a, b)\)에 대하여 \(b>0\)이므로 \(0\)과 \(b\) 사이에 \(T\)의 원소가 존재한다. 따라서 \(\mathbb{R} \backslash T\)는 \(\mathbb{R}\)의 열린 부분집합이 아니고, \(T\)는 \(\mathbb{R}\)의 닫힌 부분집합이 아니다.

 (iii) 주어진 집합의 여집합이 \((-\infty, \sqrt{2}) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (n\sqrt{2}, (n+1)\sqrt{2})\)로 표현 가능하므로 주어진 집합은 닫힌집합이다. 

 

 

8. (i) \(X\)의 부분집합 \(S\)가 가산개의 닫힌집합들의 합집합이면 \(S\)를 \(F_\sigma\)-집합이라고 부른다. 모든 열린구간 \((a, b)\)와 닫힌구간 \([a, b]\)는 \(\mathbb{R}\)에서 \(F_\sigma\)-집합임을 증명하시오.

 (ii) \(X\)의 부분집합 \(T\)가 가산개의 열린집합들의 교집합이면 \(T\)를 \(G_\delta\)-집합이라고 부른다. 모든 열린구간 \((a, b)\)와 닫힌구간 \([a, b]\)는 \(\mathbb{R}\)에서 \(G_\delta\)-집합임을 증명하시오.

 (iii) 유리수집합 \(\mathbb{Q}\)는 \(\mathbb{R}\)에서 \(F_\sigma\)-집합임을 증명하시오.

 (iv) \(F_\sigma\)-집합의 여집합은 \(G_\delta\)-집합이고, \(G_\delta\)-집합의 여집합은 \(F_\sigma\)-집합임을 입증하시오.

 

Solution

 (i) 닫힌구간 \([a, b]\)는 그 자체로 닫힌집합이다. 열린구간 \((a, b)\)는 \([a+(b-a)/2n, b-(b-a)/2n]\) (단, \(n \in \mathbb{N}\))들의 합집합으로 나타낼 수 있다.

 (ii) 열린구간 \((a, b)\)는 그 자체로 열린집합이다. 닫힌구간 \([a, b]\)는 \((a-1/n, b+1/n)\) (단, \(n \in \mathbb{N}\))들의 교집합으로 나타낼 수 있다.

 (iii) \(\mathbb{Q}\)의 원소 \(q\)에 대하여, \(\{q\}\)는 닫힌집합이다. \(\mathbb{Q}\)는 가산개의 원소를 가지므로, \(\mathbb{Q}=\bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \{q\}\)로 나타낼 수 있다. 따라서 \(\mathbb{Q}\)는 \(F_\sigma\)-집합이다.

 (iv) \(F_\sigma\)-집합 \(S\)에 대하여, \(S=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_n\) (단, \(S_n\)은 닫힌집합)으로 나타낼 수 있으므로 \(\mathbb{R} \backslash S=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R} \backslash S_n\)이다. 따라서 \(S\)의 여집합은 가산개의 열린집합들의 교집합이므로 \(G_\delta\)-집합이다. 마찬가지로, \(G_\delta\)-집합 \(T\)에 대하여, \(T=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} T_n\) (단, \(T_n\)은 열린집합)으로 나타낼 수 있으므로 \(\mathbb{R} \backslash T=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R} \backslash T_n\)이다. 따라서 \(T\)의 여집합은 가산개의 닫힌집합들의 합집합이므로 \(F_\sigma\)-집합이다.