[Topology] 위상수학 Practice (3.2.1 - 3.2.11)

 

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1. \(A\)를 위상공간 \((X, \mathcal{T})\)의 부분집합이라 하자. \(A\)가 \(X\)에서 조밀하기 위한 필요충분조건은 \(X \backslash A\)의 각 점의 모든 근방과 \(A\)의 교집합이 공집합이 아닌 것임을 증명하시오.

 

Solution

 먼저, \(A\)가 \(X\)에서 조밀하다고 하자. 각 점 \(x \in X \backslash A\)의 모든 근방에 대하여, \(x\)를 포함하는 열린집합이 존재하여 근방의 부분집합이다. \(x \notin A\)이므로 \(x \in A'\)이다. 따라서 \(x\)를 포함하는 임의의 열린집합에 대하여 \(A\)의 원소가 존재한다. 따라서 \(X \backslash A\)의 각 점의 임의의 근방에 대하여 \(A\)와의 교집합이 공집합이 아니다.

 역으로, \(X \backslash A\)의 각 점의 임의의 근방에 대하여 \(A\)와의 교집합이 공집합이 아니라고 하자. 그 점을 포함하는 임의의 열린집합은 자명히 근방이므로 \(A\)와의 교집합이 공집합이 아니다. 따라서 \(x \in X \backslash A\)이면 \(x \in A'\)이고, \(A \cup A'=X\)이다.

 

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2. (i) \(A\)와 \(B\)가 위상공간 \((X, \mathcal{T})\)의 부분집합일 때, \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}\)임을 증명하시오.

 (ii) \(\overline{A \cap B} \neq \overline{A} \cap \overline{B}\)인 예를 만드시오.

 

Solution

 (i) 만약 \(x \in A \cap B\)이면 \(x \in A\)이고 \(x \in B\)이므로 \(x \in \overline{A}\)이고 \(x \in \overline{B}\)이다. 따라서 \(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\)이다. 만약 \(x \in (A \cap B)'\)이면 \(x\)를 포함하는 임의의 열린집합에 대하여 \(A \cap B\)의 \(x\)와 다른 원소가 존재해야 한다. 그 원소를 \(y\)라 하면 \(y \in A \cap B\)이므로 \(y \in A\)이고 \(y \in B\)이다. 따라서 \(x\)를 포함하는 임의의 열린집합에 대하여 \(y \in A\)인 \(x\)와 다른 원소와, \(y \in B\)인 \(x\)와 다른 원소가 존재하므로 \(x \in A'\)이고 \(x \in B'\)이다. 따라서 \(x \in \overline{A}\)이고 \(x \in \overline{B}\), 즉 \(x \in \overline{A} \cap \overline{B}\)이다. 이상에서 \(\overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}\)이다.

 (ii) \(X=\mathbb{R}\) 위의 유클리드 위상에 대하여, \(A=(0, 1)\), \(B=(1, 2)\)이면 \(\overline{A \cap B}=\emptyset\)이지만 \(\overline{A} \cap \overline{B}=\{1\}\)이다.

 

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3. \((X, \mathcal{T})\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{T}\)가 \(X\) 위의 여유한위상일 필요충분조건은 \((X, \mathcal{T})\)가 \(T_1\)-공간이고 \(X\)의 모든 무한 부분집합이 \(X\)에서 조밀한 것임을 증명하시오.

 

Solution

  \(\mathcal{T}\)가 여유한위상이라 하자. 여유한위상은 \(T_1\)-공간이다. \(X\)의 임의의 무한 부분집합 \(A\)에 대하여, \(x \notin A\)이라 하자. \(x\)를 포함하는 어떤 열린집합 \(S\)가 \(A\)의 원소를 포함하지 않는다면 \(A \subseteq X \backslash S\)이므로 여집합이 유한집합이 아니게 되어 모순이다. 따라서 \(x \in A'\)이고 \(A \cup A'=X\)이므로 조밀하다.

 역으로, 위상공간이 \(T_1\)-공간이고 \(X\)의 모든 무한 부분집합이 \(X\)에서 조밀하다고 하자. 모든 단집합이 닫힌집합이므로, 닫힌집합들의 유한 합집합으로 이루어지는 임의의 유한집합도 닫힌집합이다. 이제, \(X\)가 아닌 어떤 무한집합 \(A\)이 닫힌집합이라 하자. 그러면 \(X \backslash A\)에 속하는 점 \(x\)에 대하여 \(x \notin A\)이고, \(x\)를 포함하는 열린집합 \(X \backslash A\)가 존재하여 \(A\)와의 교집합이 공집합이므로 \(x \notin A'\)이다. 따라서 \(x \notin \overline{A}\)이고 이는 \(A\)가 조밀함에 모순이다. 따라서 \(\mathcal{T}\)는 공집합과 여집합이 유한집합인 모든 부분집합만을 포함하는 위상이므로 여유한위상이다.

 

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4. 위상공간 \((X, \mathcal{T})\)가 가산인 조밀한 부분집합을 가지면 \((X, \mathcal{T})\)를 가분공간이라 한다. 다음 위상공간 중 어느 것이 가분인지를 결정하시오.

 (i) 보통위상공간 \(\mathbb{R}\)

 (ii) 가산집합 위의 이산위상

 (iii) 가산집합 위의 여유한위상

 (iv) 위상공간 \((X, \mathcal{T})\), 단, \(X\)는 유한집합

 (v) 위상공간 \((X, \mathcal{T})\), 단, \(\mathcal{T}\)는 유한집합족

 (vi) 비가산집합 위의 이산위상

 (vii) 비가산집합 위의 여유한위상

 (viii) 제2가산공리를 만족하는 위상공간 \((X, \mathcal{T})\)

 

Solution

 (i) \(\mathbb{R}\)의 부분집합 \(\mathbb{Q}\)는 가산이고 조밀하므로 가분공간이다.

 (ii)와 (iii), (iv)의 경우에는 \(X\) 자체가 가산인 조밀한 부분집합이므로 가분공간이다.

 (v) 열린집합 \(S_0=\emptyset, S_1, S_2, ..., S_n=X\)에 대하여, \(x_i \in S_i\)인 \(x_i\)들을 하나씩 선택할 수 있다. 이들을 원소로 가지는 유한집합 \(A=\bigcup_{i=1}^n\{x_i\}\)를 잡자. 만약 \(x \notin A\)이면, \(x\)를 포함하는 모든 열린집합 \(S_i\)들에 대하여 다른 원소 \(x_i\)들이 존재하여 \(x_i \in A\)이므로 \(x \in A'\)이다. 따라서 \(\overline{A}=X\)이고 \(A\)는 유한인 조밀한 부분집합이므로 가분공간이다.

 (vi) 전체집합이 아닌 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여, \(x \in X \backslash A\)이 존재하여 \(\{x\}\)이 열린집합이므로 \(x \notin A\)이고 \(x \notin A'\)이다. 따라서 이산위상공간의 조밀한 부분집합은 \(X\)뿐이고, 이는 비가산이므로 가분공간이 아니다.

 (vii) 비가산집합이므로 유한이 아닌 가산부분집합 \(A\)가 존재한다. \(\overline{A}\)는 \(A\)를 포함하는 가장 작은 닫힌집합임에 주목하자. 여유한위상의 닫힌집합은 \(X\)와 모든 유한집합인데, 유한집합은 \(A\)를 포함할 수 없으므로 \(\overline{A}=X\)이다. 따라서 가분공간이다.

 (viii) 제2가산공리를 만족하는 위상공간이므로 가산개의 집합을 갖는 기저 \(\mathcal{B}\)가 존재한다. 기저에 속하는 집합 \(B_i, i \in \mathbb{N}\)에 대하여 \(x_i \in B_i\)인 \(x_i\)들을 하나씩 선택할 수 있다. 이들을 원소로 가지는 가산집합 \(A=\bigcup_{i \in \mathbb{N}} \{x_i\}\)를 잡자. 만약 \(x \notin A\)이면, \(x\)를 포함하는 임의의 열린집합 \(S\)에 대하여, \(S\)는 기저에 속하는 집합들의 합집합으로 구성된다. 이 집합 중 하나를 \(B_{i_0}\)이라 하자. 그러면 \(x_{i_0}\)이 존재하여 \(x_{i_0} \in A\)이므로 \(x \in A'\)이다. 따라서 \(\overline{A}=X\)이고 \(A\)는 가산인 조밀한 부분집합이므로 가분공간이다.

 

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5. 위상공간 \((X, \mathcal{T})\)의 부분집합 \(A\) 안에 포함되는 가장 큰 열린집합을 \(A\)의 내부라 부르고 \(\mathsf{Int}(A)\)로 나타낸다.

 (i) 실수 \(\mathbb{R}\)에서 \(\mathsf{Int}([0, 1])=(0, 1)\)임을 증명하시오.

 (ii) 실수 \(\mathbb{R}\)에서 \(\mathsf{Int}((3, 4))=(3, 4)\)임을 증명하시오.

 (iii) 만약 \(A\)가 \((X, \mathcal{T})\)에서 열린집합이면 \(\mathsf{Int}(A)=A\)임을 보이시오.

 (iv) 실수 \(\mathbb{R}\)에서, \(\mathsf{Int}(\{3\})=\emptyset\)임을 입증하시오.

 (v) 만약 \((X, \mathcal{T})\)가 비이산위상공간이면 \(X\)의 모든 진부분집합 \(A\)에 대하여 \(\mathsf{Int}(A)=\emptyset\)임을 보이시오.

 (vi) 실수 \(\mathbb{R}\)의 모든 가산부분집합 \(A\)에 대하여 \(\mathsf{Int}(A)=\emptyset\)임을 보이시오.

 

Solution

 (i) \((0, 1)\)은 열린집합이고, \((0, 1)\)보다 큰 \([0, 1]\)의 부분집합 \([0, 1], (0, 1], [0, 1)\)은 열린집합이 아니므로 \((0, 1)\)이 \([0, 1]\)의 가장 큰 열린집합이다.

 (ii) (iii) \(A\)가 그 자체로 열린집합이고, \(A\)보다 큰 \(A\)의 부분집합은 없으므로 \(A\)가 가장 큰 열린집합이다. 따라서 \(A=(3, 4)\)를 대입하여 \(\mathsf{Int}((3, 4))=(3, 4)\)를 얻고, 일반적으로 \(\mathsf{Int}(A)=A\)이다.

 (iv) \(\{3\}\) 안에 포함되는 집합은 \(\emptyset\)과 \(\{3\}\)인데, \(\{3\}\)은 \(\mathbb{R}\)에서 열린집합이 아니므로 \(\mathsf{Int}(\{3\})=\emptyset\)이다.

 (v) 비이산위상공간의 열린집합은 \(\emptyset\)과 \(X\)뿐이다. 그런데 \(A\)가 진부분집합이므로 \(X \nsubseteq A\)이다. 따라서 \(\mathsf{Int}(A)=\emptyset\)이다.

 (vi) \(\emptyset\)을 제외한 모든 열린집합은 적어도 하나의 열린구간의 합집합이고, 열린구간은 비가산집합이다. 따라서 \(\emptyset\)이 아닌 임의의 열린집합 \(S\)에 대하여 \(S \nsubseteq A\)이다. 따라서 \(\mathsf{Int}(A)=\emptyset\)이다.

 

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6. 위상공간 \((X, \mathcal{T})\)의 임의의 부분집합 \(A\)에 대하여 \(\mathsf{Int}(A)=X \backslash \overline{(X \backslash A)}\)임을 보이시오.

 

Solution 1

 \(X \backslash \overline{(X \backslash A)}=X \backslash (X \backslash A \cup (X \backslash A)')=A \cap X \backslash (X \backslash A)'\)이다.

 임의의 \(x \in \mathsf{Int}(A)\)에 대하여, \(x \in A\)는 자명하고 \(x\)를 포함하는 열린집합이 존재하여 \(A\)의 부분집합이다. 따라서 해당 열린집합을 취하여 \(x\)는 \(X \backslash A\)의 극한점이 아님을 안다. 즉, \(x \in X \backslash (X \backslash A)'\)이다. 따라서 \(\mathsf{Int}(A) \subseteq X \backslash \overline{(X \backslash A)}\)이다.

 역으로, \(x \in A\)이고 \(x \in X \backslash (X \backslash A)'\)라 하자. 그러면 \(x \notin (X \backslash A)'\)이므로 \(x\)를 포함하는 어떤 열린집합이 존재하여 \(A\)의 부분집합이다. 즉, \(x \in \mathsf{Int}(A)\)이다. 따라서 \(\mathsf{Int}(A) \supseteq X \backslash \overline{(X \backslash A)}\)이다.

 이상에서 두 집합은 동일하다.

 

Solution 2

 \(\overline{X \backslash A}\)는 \(X \backslash A\)를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다. 따라서 이 집합의 여집합은 \(X \backslash A\)의 어떠한 원소도 포함하지 않는 가장 큰 열린집합이고, 즉 \(A\)에 속하는 가장 큰 열린집합이다. 내부의 정의에 따라 이는 \(\mathsf{Int}(A)\)와 같다.

 

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7. \(A\)가 \((X, \mathcal{T})\)에서 조밀할 필요충분조건은 \(\mathsf{Int} (X \backslash A)=\emptyset\)인 것이다.

 

Solution

 \(A\)가 조밀하다면 \(\overline{A}=X\)이므로 \(\mathsf{Int} (X \backslash A)=X \backslash \overline{A}=X \backslash X=\emptyset\)이다. 역으로, \(\mathsf{Int}(X \backslash A)=\emptyset\)이라면 \(\emptyset=X \backslash \overline{A}\)이므로 \(\overline{A}=X\)이다. 이는 \(A\)가 조밀함을 의미한다.

 

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8. 내부의 정의를 이용하여 \((X, \mathcal{T})\)의 임의의 부분집합 \(A_1, A_2\)에 관한 다음 명제가 참인지 아닌지를 결정하시오.

 (i) \(\mathsf{Int}(A_1 \cap A_2)=\mathsf{Int}(A_1) \cap \mathsf{Int}(A_2)\)

 (ii) \(\mathsf{Int}(A_1 \cup A_2)=\mathsf{Int}(A_1) \cup \mathsf{Int}(A_2)\) 

 (iii) \(\overline{A_1 \cup A_2}=\overline{A_1} \cup \overline{A_2}\)

 

Solution

 (i) \(x \in \mathsf{Int}(A_1 \cap A_2)\)이면 \(x\)를 포함하는 열린집합 \(S\)가 존재하여 \(S \subseteq A_1 \cap A_2\)이다. 이는 \(S \subseteq A_1\)과 \(S \subseteq A_2\)를 모두 만족하므로 \(x \in \mathsf{Int}(A_1)\)과 \(x \in \mathsf{Int}(A_2)\)를 모두 만족한다. 역으로, \(x \in \mathsf{Int}(A_1)\)과 \(x \in \mathsf{Int}(A_2)\)를 모두 만족한다고 하자. 그러면 \(x\)를 포함하는 열린집합 \(S_1, S_2\)가 존재하여 \(S_1 \subseteq A_1\)이고 \(S_2 \subseteq A_2\)이다. 그러면 \(S=S_1 \cap S_2\)도 열린집합이고 \(x \in S \subseteq A_1 \cap A_2\)이다. 따라서 \(x \in \mathsf{Int}(A_1 \cap A_2)\)이다. 이상에서 본 명제는 참이다.

 (ii) 보통위상공간 \(\mathbb{R}\)과 \(A_1=[1, 2]\), \(A_2=[2, 3]\)에 대하여, 좌변은 \(\mathsf{Int}(A_1 \cup A_2)=\mathsf{Int}([1, 3])=(1, 3)\)이다. 그러나 \(\mathsf{Int}(A_1)=(1, 2)\), \(\mathsf{Int}(A_2)=(2, 3)\)이므로 우변은 \((1, 2) \cup (2, 3)\)이다. 좌변과 우변이 서로 다르므로 본 명제는 거짓이다.

 (iii) 양변에 여집합을 취하여 좌변은 \(X \backslash \overline{(A_1 \cup A_2)}=\mathsf{Int}(X \backslash (A_1 \cup A_2))=\mathsf{Int}(X \backslash A_1 \cap X \backslash A_2)\)이고, 우변은 \(X \backslash (\overline{A_1} \cup \overline{A_2})=X \backslash \overline{A_1} \cap X \backslash \overline{A_2}=\mathsf{Int}(X \backslash A_1) \cap \mathsf{Int}(X \backslash A_2)\)이 성립한다. 이는 (i)에 의해 참인 명제다.

 

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9. \(S\)를 위상공간 \((X, \mathcal{T})\)의 조밀한 부분집합이라 하자. \(X\)의 모든 열린 부분집합 \(U\)에 대하여, \(\overline{S \cap U}=\overline{U}\)임을 증명하시오.

 

Solution

 \(x \in \overline{S \cap U}\)이면 \(x\)를 포함하는 임의의 열린집합 \(A\)에 대하여 \(A \cap (S \cap U) \neq \emptyset\)이다. 따라서 \((A \cap U) \cap S \neq \emptyset\)이고 \(A \cap U \neq \emptyset\)이다. 따라서 \(x \in \overline{U}\)이다.

 역으로, \(x \in \overline{U}\)라 하자. 그러면 \(x\)를 포함하는 임의의 열린집합 \(A\)에 대하여 \(A \cap U \neq \emptyset\)이다. 이때 \(A \cap U\)는 두 열린집합의 교집합이므로 열린집합이고, \(S\)는 조밀한 부분집합이므로 임의의 공집합이 아닌 열린집합과 서로소가 아니다. (만약 공집합이 아닌 어떤 열린집합이 존재하여 \(S\)와 서로소이면 그 열린집합의 원소는 \(S\)에 속하지도 않고 \(S\)의 극한점도 아니므로 \(S\)가 조밀함에 모순이다.) 따라서 \((A \cap U) \cap S \neq \emptyset\)이고, \(A \cap (S \cap U) \neq \emptyset\)이므로 \(x \in \overline{S \cap U}\)이다.

 이상에서 두 집합은 동일하다.

 

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10. \(S\)와 \(T\)를 위상공간 \((X, \mathcal{T})\)의 조밀한 부분집합이라 하자. 만약 \(T\)가 열린집합이면, \(S \cap T\)가 \(X\)에서 조밀함을 유도하시오.

 

Solution

 \(S\)가 조밀하고 \(T\)가 열린집합이므로 \(\overline{S \cap T}=\overline{T}=X\)이다. 따라서 \(S \cap T\)도 조밀하다.

 

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11. \(\mathcal{B} =\{[a, b):a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{Q}, a<b\}\)라 하자. 다음의 각각의 명제를 증명하시오.

 (i) \(\mathcal{B}\)가 \(\mathbb{R}\) 위의 위상 \(\mathcal{T}_1\)에 대한 기저다. (이 공간을 Sorgenfrey 직선이라 한다.)

 (ii) 만약 \(\mathcal{T}\)가 \(\mathbb{R}\) 위의 유클리드 위상이면 \(\mathcal{T}_1 \supset \mathcal{T}\)이다.

 (iii) \(a<b\)인 모든 \(a, b \in \mathbb{R}\)에 대하여, \([a, b)\)는 \((\mathbb{R}, \mathcal{T}_1)\)에서 열린닫힌집합이다.

 (iv) Sorgenfrey 직선은 가분공간이다.

 (v) Sorgenfrey 직선은 제2가산공리를 만족하지 않는다.

 

Solution

 (i) \(x \in [x, \lfloor x \rfloor+1)\)이므로 \(\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B=\mathbb{R}\)이다. 또한, 두 기저의 교집합 \([a, b) \cap [c, d)\)는 \(e=\max\{a, c\}\), \(f=\min\{b, d\}\)으로 정의하면 \(e < f\)일 경우 \([e, f)\)이므로 그 자체로 기저에 속하며, \(e \geq f\)일 경우 \(\emptyset\)으로 기저의 빈 합집합으로 볼 수 있다. 이상에서 \(\mathcal{B}\)는 어떤 위상 \(\mathcal{T}_1\)을 형성한다.

 (ii) 유클리드 위상에서 열린집합은 끝점이 유리수인 열린구간들의 합집합으로 표현할 수 있고, 유리수 \(a, b\)에 대하여 열린구간 \((a, b)\)는 \((a, b)=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} [a+(b-a)/2n, b)\)와 같이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 집합들의 합집합으로 표현할 수 있다. 따라서 유클리드 위상에서 열린집합은 모두 \(\mathcal{T}_1\)에서도 열린집합이다.

 (iii) \(a<b\)인 모든 \(a, b \in \mathbb{R}\)에 대하여, \((a, b)\)는 유클리드 위상에서 열린집합이므로 \(\mathcal{T}_1\)에서도 열린집합이다. \(a<c<b\)를 만족하는 유리수 \(c\)에 대하여, \((a, b) \cup [a, c)=[a, b)\)이므로 \([a, b)\)도 \(\mathcal{T}_1\)에서 열린집합이다. 한편, \([a, b)\)의 여집합 \((-\infty, a) \cup [b, \infty)\)에 대하여 \((-\infty, a)\)는 유클리드 위상에서 열린집합이므로 \(\mathcal{T}_1\)에서도 열린집합이다. \([b, \infty)\)는 \([b, \lfloor b \rfloor+1) \cup (b, \infty)\)와 같이 두 열린집합의 합집합으로 표현할 수 있으므로 열린집합이다. 따라서 \([a, b)\)의 여집합도 열린집합이고, \([a, b)\)는 열린닫힌집합이다.

 (iv) 가산 부분집합을 \(\mathbb{Q}\)로 잡으면, 임의의 무리수 \(p \in \mathbb{P}\)에 대하여, \(p\)를 포함하는 임의의 열린집합은 \(\mathcal{B}\)의 원소들의 합집합으로 구성된다. 임의의 서로 다른 실수와 유리수 사이에는 유리수가 존재하므로 \(p\)는 \(\mathbb{Q}\)의 극한점이다. 따라서 Sorgenfrey 직선은 가산인 조밀한 부분집합을 가지므로 가분공간이다.

 (v) 실수 \(r\)에 대하여, \(\mathbb{R}\)의 부분집합 \([r, \infty)\)은 열린집합이다. 귀류법으로, Sorgenfrey 직선이 제2가산공리를 만족한다고 가정하자. 그러면 가산개의 원소로 이루어진 기저 \(\mathcal{B}'\)가 존재하여, 첨수집합 \(J\)에 대하여 \(\bigcup_{j \in J}B_{r, j}=[r, \infty)\)를 만족하는 \(B_{r, j} \in \mathcal{B}'\)이 존재한다. 만약 어떤 실수 \(b<r\)에 대해 \(b \in B_{r, j}\)을 만족하는 \(j\)가 존재한다면 \(b \in [r, \infty)\)이므로 모순이다. 또한, \(r \in B_{r, j}\)을 만족하는 \(j\)가 존재하지 않는다면 \(r \notin [r, \infty)\)이므로 모순이다. 따라서 \(B_{r, j}\)들 중 최소원이 \(r\)인 집합이 존재한다. 이를 \(B_r\)라 하자. \(r\)은 임의의 실수이고, 서로 다른 실수 \(r_1, r_2\)에 대하여 \(B_{r_1} \neq B_{r_2}\)이므로 기저 \(\mathcal{B}'\)는 비가산개의 원소를 가져야 한다. 이는 가정에 모순이므로 Sorgenfrey 직선은 제2가산공리를 만족하지 않는다.