[Fraleigh] 1. Introduction and Examples

 

복소수(complex numbers)

 복소수(complex numbers) 집합 \(\mathbb{C}\) 는 \(\mathbb{C}=\{a+bi \vert a, b \in \mathbb{R}\}\)으로 정의된다. 이때, \(i\)는 \(i^2=-1\)을 만족하는 허수(imaginary number)이다.

 

오일러 공식(Euler's formula)

 실수 \(\theta\)에 대하여, \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)가 성립한다.

 임의의 실수 \(x\)에 대하여 \[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}\]은 절대수렴한다. 따라서 항의 순서를 바꾼 \[e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\]도 성립한다. 여기에서 순허수 \(i\theta\) (단, \(\theta\)는 실수)로의 확장을 생각할 수 있을 것이다. 대입하면 \[e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!}+
i \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}\]이다. 이제 각 합(summation)은 \(\cos\theta\)와 \(\sin\theta\)의 멱급수 전개(power series expansions)와 같고 이들 또한 실수 전체에서 절대수렴한다. 따라서 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)로 표현할 수 있다.

 

실수를 법으로 하는 덧셈(addition modulo \(c\))

 실수 \(c\)에 대하여, \(\mathbb{R}_c\)는 구간 \([0, c)\)를 나타낸다. \(\mathbb{R}_c\)에서 정의된 덧셈(addition modulo \(c\)) \(+_c\)는 다음과 같다. \[x+_c y=\begin{cases} x+y & \ \text{if} \ 0 \leq x+y<c \\ x+y-c & \ \text{if} \ x+y \geq c \end{cases}\]

 

복소평면의 단위원(circle in the Euclidean plane with center at the origin and radius 1)

 집합 \(U=\{z \in \mathbb{C} \vert \ \vert z \vert=1\}\)은 복소평면의 단위원을 이룬다.

 

\(n\)차 단위근(\(n\)th roots of unity)

 \(n\)차 단위근(\(n\)th roots of unity)들의 집합은 \(U_n=\{z \in \mathbb{C} \vert z^n=1\}\)이다. 이 집합의 원소의 개수는 \(n\)개이며, 구체적으로 \(m=0, 1, ..., n-1\)에 대하여 \[\cos (m\frac{2\pi}{n}) + i\sin (m\frac{2\pi}{n})\]이다.

 이들의 절댓값(absolute value)은 모두 \(1\)이므로 \(U_n \subset U\)가 성립한다.