[Fraleigh] 2. Binary Operations

 

 

[2.1 Definition] 이항 연산(binary operation)

 집합 \(S\) 위의 이항 연산(binary operation) \(\ast\)은 \(S \times S\)에서 \(S\)로의 함수이다. \((a, b) \in S \times S\)에 대하여, \(\ast((a, b)) \in S\)를 간단히 \(a \ast b\) 로 나타낸다.

[2.3 Example] 집합 \(S\) 위의 이항 연산은 \(S \times S\)의 임의의 원소에 대하여 \(S\)의 한 원소를 매핑해야 한다. 따라서 실수 값을 갖는 행렬들의 집합 \(M(\mathbb{R})\) 위의 덧셈 \(+\)은 서로 다른 크기의 두 행렬 사이에서는 정의되지 않으므로 이항 연산이 아니다.

 

[2.4 Definition] 닫혀 있음(closed)과 유도 연산(induced operation)

 집합 \(S\) 위의 이항 연산 \(\ast\)에 대하여, \(S\)의 부분집합 \(H\)는 임의의 \(a, b \in H\)에 대하여 \(a \ast b \in H\)를 만족할 때 (그리고 그때만) \(\ast\)에 대하여 닫혀 있다(closed under \(\ast\))고 한다. 특히 이 경우, 이항 연산 \(\ast\)를 부분집합 \(H\)으로 한정하여 만들어지는 이항 연산을 \(H\) 위에서 \(\ast\)의 유도 연산(induced operation of \(\ast\) on \(H\))이라 한다.

 

[2.11 Definition] 가환(commutative)

 집합 \(S\) 위의 이항 연산 \(\ast\)가 가환(commutative), 또는 교환 가능하다는 것은 임의의 \(a, b \in S\)에 대하여 \(a \ast b=b \ast a\)인 것이다.

[2.14 Example] 유한 집합 \(S\) 위의 이항 연산 \(\ast\)은, 2차원 배열(table)로 만들어서 행과 열이 만나는 위치에 해당 행의 원소와 해당 열의 원소의 연산 \(\ast\) 값을 표시함으로써 나타낼 수도 있다. 이때, 이 배열이 좌상단에서 우하단을 잇는 대각선(main diagonal)을 축으로 대칭(symmetric)이면 (그리고 그때만) 가환이다.

 

[2.12 Definition] 결합 가능(associative)

 집합 \(S\) 위의 이항 연산 \(\ast\)가 결합 가능하다는 것(associative), 또는 결합 법칙이 성립한다는 것은 임의의 \(a, b, c \in S\)에 대하여 \((a \ast b) \ast c=a \ast(b \ast c)\)인 것이다.

[Exercise 2.2-3] 교환 가능성과 결합 가능성은 임의의 \(a, b \in S\) 또는 \(a, b, c \in S\)에 대하여 성립해야 말할 수 있다. 예를 들어, \(S=\{a, b, c, d, e\}\)인 경우에 \((a \ast b) \ast c=b \ast c=a\), \(a \ast (b \ast c)=a \ast a=a\)가 성립한다고 해서 이항 연산 \(\ast\)이 결합 가능하다고 말할 수 없다. 그렇지만 \((b \ast d) \ast c=e \ast c=a\), \(b \ast (d \ast c)=b \ast b=c\)로 결합 법칙이 성립하지 않는 경우 한 가지만 찾으면 결합 가능하지 않다(not associative)고 말할 수 있다.

 

잘 정의되지 않음(not well defined)과 닫혀 있지 않음(not closed)

 집합 \(S\) 위의 이항 연산 \(\ast\)를 정의하려고 생각할 때, \(S \times S\)의 원소가 정확히 하나의 \(S\)의 원소로 매핑되지 않는 경우, 매핑되는 \(S\)의 원소가 없다면 어디서나 정의되지는 않았다(not everywhere defined)고 하고, 여러 원소로 매핑되는 경우 모호하다(ambiguous)고 한다. 이를 통틀어 잘 정의되지 않았다(not well defined)고 한다. ([Condition 1] violated)

 또한, \(S \times S\)의 원소가 정확히 하나의 값으로 매핑되더라도 \(S\)의 원소가 아니라면 \(S\)는 \(\ast\)에 대하여 닫혀 있지 않다(not closed under \(\ast\))고 한다. ([Condition 2] violated) 두 경우 모두 \(\ast\)는 이항 연산이 되지 못한다.

[필자 주] not everywhere defined은 매핑되는 \(S\)의 원소가 없는 \(S \times S\)의 원소가 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. not defined everywhere(어디서나 정의되지 않았다, 임의의 \(S \times S\)의 원소가 매핑되지 않는다)와 다름에 유의하라.

 

멱등원(idempotent)

 집합 \(S\) 위의 이항 연산 \(\ast\)에 대하여, \(a \in S\)가 \(\ast\)에 대한 멱등원(idempotent)이라는 것은 \(a \ast a=a\)가 성립한다는 것이다.

[Exercise 2.37] 멱등원들의 집합 \(H=\{a \in S \vert a \ast a=a\}\)과 교환 법칙과 결합 법칙이 모두 성립하는 이항 연산 \(\ast\)을 생각하자. 임의의 \(a, b \in H\)에 대하여, \[\begin{align}(a \ast b) \ast (a \ast b) &= (a \ast b) \ast (b \ast a)=a \ast (b \ast (b \ast a))=a \ast ((b \ast b) \ast a)\\ &= a \ast (b \ast a)=a \ast (a \ast b)=(a \ast a) \ast b \\ &=a \ast b\end{align}\]가 성립한다. 따라서 \(H\)는 \(\ast\)에 대하여 닫혀 있다.