[Fraleigh] 3. Isomorphic Binary Structures

 

이항 대수 구조(binary algebraic structure)

 이항 대수 구조(binary algebraic structure) 은 집합 \(S\)와 그 위의 이항 연산 \(\ast\)을 통틀어 나타내며 \(\langle S, \ast \rangle\) 로 표기한다. 편의상 이항 구조(binary structure)로 쓰는 경우가 많다.

 

[3.7 Definition] 동형사상(isomorphism)

이항 대수 구조 \(\langle S, \ast \rangle\), \(\langle S', \ast' \rangle\)에 대하여, \(S\)와 \(S'\)의 동형사상(isomorphism)은 다음 조건(homomorphism property, 준동형 성질)을 만족하는 \(S\)에서 \(S'\)로의 일대일 대응 \(\phi\)이다. \[\phi(x \ast y)=\phi(x) \ast' \phi(y) \ \text{for all} \ x, y \in S\] 이때 \(S\)와 \(S'\)는 동형인 이항 구조(isomorphic binary structure)라 하고 \(S \simeq S'\)라 한다.

 동형사상을 정의하는 데 사용된 식 \(\phi(x \ast y)=\phi(x) \ast' \phi(y)\)이 동형 성질이 아니라 준동형 성질인 이유는 해당 성질 자체는 \(\phi\)가 일대일 대응임을 내포하고 있지 않기 때문이다.
 [Exercise 3.20] 한편 준동형 성질은 '\(\phi\)가 이항 연산과 교환된다'고 표현하기도 하는데, 이는 이항 연산 \(\ast\)을 시행하고 \(\phi\)를 거친 값과, \(\phi\)를 각각 거치고 이항 연산 \(\ast'\)를 시행한 값이 같기 때문이다.

 

두 이항 구조가 동형임을 보이기

 두 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\), \(\langle S', \ast' \rangle\)가 동형임을 보이기 위해서는 다음 과정을 따른다.

1. \(S\)에서 \(S'\)로의 동형사상이 될 함수 \(\phi\)를 정의한다. 구체적으로, 임의의 \(s \in S\)에 대하여 \(\phi(s)\)를 명시할 수 있다.
2. \(\phi\)가 일대일 함수임을 보인다.
3. \(\phi\)가 위로의 함수임을 보인다.
4. \(\phi\)가 준동형 성질 \(\phi(x \ast y)=\phi(x) \ast' \phi(y)\) for all \(x, y \in S\)를 만족함을 보인다.

두 이항 구조가 동형이 아님을 보이기

 두 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\), \(\langle S', \ast' \rangle\)가 있다고 하자. 만약 \(S\)와 \(S'\)의 기수(cardinality)가 다르면 \(S\)에서 \(S'\)로의 일대일 대응이 존재하지 않으므로 동형사상 \(\phi\)가 존재하지 않는다. 따라서 기수가 다른 이항 구조는 동형이 아니다.

 일반적으로, 두 이항 구조의 구조적 성질(structural property)이 같은 것은 두 이항 구조가 동형이기 위한 필요조건이다. 즉, 서로 다른 구조적 성질이 하나 이상 존재하면 두 이항 구조는 동형이 아니다. 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\)에 대하여 다음은 구조적 성질의 예이다.

• \(S\)의 기수 \(\vert S \vert\)
• \(\ast\)의 교환 법칙, 결합 법칙 성립 여부
• idempotent(\(x \ast x=x\), \(x \in S\))의 개수(엄밀히, idempotent를 원소로 갖는 집합 \(H\)의 기수)
• 방정식 \(a \ast x=b\)가 임의의 \(a, b \in S\)에 대하여 해 \(x \in S\)를 갖는지 여부

[3.12 Definition] 항등원(identity element)

 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\)에 대하여, 원소 \(e \in S\)가 존재하여 임의의 \(s \in S\)에 대하여 \(e \ast s=s \ast e=s\)를 만족시키면 \(e\)는 \(\ast\)의 항등원(identity element)이라 한다.

[3.13 Theorem] 항등원은 존재하면 유일한데, 두 원소 \(e, \overline{e} \in S\)가 모두 항등원이라 가정하면 \(e=e \ast \overline{e}=\overline{e}\)이기 때문이다.

 

[3.14 Theorem] 항등원과 동형사상

 항등원 \(e\)를 갖는 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\)에 대하여 \(\langle S', \ast' \rangle\)와의 동형사상 \(\phi:S \rightarrow S'\)이 존재하면 \(\phi(e)\)는 \(\langle S', \ast' \rangle\)의 항등원이다.

 항등원은 존재하면 유일하므로, \(\phi(e)\)가 항등원의 정의를 만족하는지 확인하면 충분하다. 임의의 \(s' \in S'\)에 대하여, \(\phi\)는 일대일 대응이므로 \(\phi(s)=s'\)를 만족하는 \(s \in S\)가 유일하게(일대일 함수) 존재한다(위로의 함수). 이제 동형사상의 준동형 성질(homomorphism property)에 의해 \[\phi(e) \ast' s'=\phi(e) \ast' \phi(s)=\phi(e \ast s)=\phi(s)=s'\]이고, 
\[s' \ast' \phi(e)=\phi(s) \ast' \phi(e)=\phi(s \ast e)=\phi(s)=s'\]이다. \(s' \in S'\)는 임의로 고른 것이므로 \(\phi(e)\)는 \(\langle S', \ast' \rangle\)의 항등원이다. \(\square\)

 

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[Exercise 3.24] 좌항등원과 우항등원(left/right identity element)

 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\)에 대하여, 좌항등원(left identity element) \(e_L \in S\)은 임의의 원소 \(s \in S\)에 대하여 \(e_L \ast s=s\)를 만족시키는 원소이고, 우항등원(right identity element) \(e_R \in S\)은 임의의 원소 \(s \in S\)에 대하여 \(s \ast e_R=s\)를 만족시키는 원소이다.

 [Exercise 3.24-25] 좌항등원만 존재하거나 우항등원만 존재하는 경우 유일하지 않을 수 있다. 예를 들어, \(S=\{a, b\}\)이고 \(x \ast y=y\)로 주어진 \(\langle S, \ast \rangle\)의 경우 \(a\)와 \(b\)가 모두 좌항등원이다.
 그러나 좌항등원과 우항등원이 둘 다 존재하는 경우 그 둘은 항상 같다. \(e_L = e_L \ast e_R = e_R\)이기 때문이다.

 

[Exercise 3.26-28] 이항 구조의 동형 관계는 동치 관계(equivalence relation)임을 보이기

1. (Reflexivity) 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\)에 대하여, 임의의 \(s \in S\)에 대하여 \(\phi(s)=s\)로 정의된 \(\phi:S \rightarrow S\)를 생각하자. 자명히 일대일 대응이고 임의의 \(x, y \in S\)에 대하여 \(\phi(x \ast y)=x \ast y=\phi(x) \ast \phi(y)\)가 성립하므로 \(\phi\)는 \(\langle S, \ast \rangle\)와 \(\langle S, \ast \rangle\)의 동형사상이다. 따라서 \(S \simeq S\)
2. (Symmetry) 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\), \(\langle S', \ast' \rangle\)에 대하여 동형사상 \(\phi:S \rightarrow S'\)가 존재한다고 하자. \(\phi\)는 일대일 대응이므로 역함수 \(\phi^{-1}:S' \rightarrow S\)가 존재하여 또한 일대일 대응이다. 따라서 준동형 성질만 확인하면 \(\phi^{-1}\)이 \(\langle S', \ast' \rangle\)와 \(\langle S, \ast \rangle\)의 동형사상이 된다. 임의의 \(x', y' \in S'\)에 대하여 \(\phi(x)=x'\), \(\phi(y)=y'\)를 만족하는 \(x, y \in S\)가 각각 유일하게 존재한다. 이제 \(\phi\)가 동형사상이므로 \[\phi(x \ast y)=\phi(x) \ast' \phi(y)=x' \ast' y'\]가 성립한다. 양변에 \(\phi^{-1}\)을 취하면 \[x \ast y=\phi^{-1}(x' \ast' y')\]이다. 이때 \(x=\phi^{-1}(x')\)이고 \(y=\phi^{-1}(y')\)이므로 \[\phi^{-1}(x' \ast' y')=\phi^{-1}(x') \ast \phi^{-1}(y')\]가 성립한다. 이상에서 \(S \simeq S'\)이면 \(S' \simeq S\)
3. (Transitivity) 이항 구조 \(\langle S, \ast \rangle\), \(\langle S', \ast' \rangle\), \(\langle S'', \ast'' \rangle\)에 대하여 동형사상 \(\phi: S \rightarrow S'\)과 \(\psi: S' \rightarrow S''\)가 존재한다고 하자. \(\phi\)와 \(\psi\)는 일대일 대응이므로 \(\psi \circ \phi:S \rightarrow S''\)도 일대일 대응이다. 따라서 준동형 성질만 확인하면 \(\psi \circ \phi\)가 \(\langle S, \ast \rangle\)과 \(\langle S'', \ast'' \rangle\)의 동형사상이 된다. 임의의 \(x, y \in S\)에 대하여, \[\begin{align}\psi \circ \phi(x \ast y)& =\psi(\phi(x \ast y))=\psi(\phi(x) \ast' \phi(y)) \\ &=\psi(\phi(x)) \ast'' \psi(\phi(y))=\psi \circ \phi(x) \ast'' \psi \circ \phi(y)\end{align}\]가 성립한다. 이상에서 \(S \simeq S'\)이고 \(S' \simeq S''\)이면 \(S \simeq S''\)

[Exercise 3.34] 원소의 개수가 2개인 이항 구조의 동형

 원소의 개수가 2개인 집합을 \(S=\{a, b\}\)라 하자. \(2 \times 2\) 배열의 table에 각 원소 중 하나를 배치하여 이항 구조를 나타낼 수 있으므로 이러한 이항 구조의 개수는 \(2^{2\times 2}=16\)개이다. 이때, 동형인 이항 구조임을 확인하기 위해서는 \(a\)와 \(b\)의 위치를 모두 바꾼 다음 순서에 맞게 재배치했을 때 같아지는지 보면 된다. (\(a\)를 \(a\)와 바꾸고 \(b\)를 \(b\)와 바꾸는 동형사상은 자기 자신으로 가는 자명한 동형사상이므로 생각하지 않아도 된다.) 참고로 동형을 제외한 서로 다른 이항 구조는 16개 중 10개이다.