[Fraleigh] 4. Groups

 

[4.1 Definition] 군(group)

 군(group)은 다음 조건을 만족하는 이항 구조 \(\langle G, \ast \rangle\)이다.

• \(\mathscr{G}_1\): 임의의 \(a, b, c \in G\)에 대하여, 결합 법칙 \[(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)\]이 성립한다. (associativity of \(\ast\))
• \(\mathscr{G}_2\): 임의의 \(x \in G\)에 대하여 \[e \ast x = x \ast e = x\]을 만족하는 항등원 \(e \in G\)가 존재한다. (identity element \(e\) for \(\ast\))
• \(\mathscr{G}_3\): 임의의 \(a \in G\) 각각에 대하여 \[a \ast a' = a' \ast a = e\]를 만족하는 역원 \(a' \in G\)가 존재한다. (inverse \(a'\) of \(a\))

[4.3 Definition] 아벨군/가환군(abelian group)

 가환(commutative)인 군을 아벨군(abelian)이라 한다.

 

일반선형군(general linear group)

 차수가 \(n\)인 일반선형군(general linear group of degree \(n\))은 \(n \times n\) 가역행렬의 집합과 행렬 곱셈으로 이루어진 군으로, \(GL(n, \mathbb{R})\)으로 나타낸다. \(GL(n, \mathbb{R})\)의 가역행렬 \(A\)는 가역 선형변환(linear transformation) \(T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\), \(T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\)과 일대일 대응됨에 유의하라. \(\mathbb{R}^n\)에서 \(\mathbb{R}^n\)으로의 가역 선형변환과 합성 연산으로 이루어진 군을 \(GL(\mathbb{R}^n)\)이라 하면 \(GL(n, \mathbb{R}) \simeq GL(\mathbb{R}^n)\)이다.

 

[4.15 Theorem] 소거 법칙(cancellation law)

군 \(\langle G, \ast \rangle\)은 좌측 및 우측 소거 법칙(left and right cancellation law)이 성립한다. 즉, \(a, b, c \in G\)에 대하여 \(a \ast b = a \ast c\)이면 \(b =c\)이고, \(b \ast a = c \ast a\)이면 \(b=c\)이다.

 \(a \ast b = a \ast c\)라 하자. \(\mathscr{G}_3\)에 의하여 \(a\)의 역원 \(a' \in G\)가 존재한다. 양변에 \(a'\)를 연산하면 \(a' \ast (a \ast b) = a' \ast (a \ast c)\)이다. \(\mathscr{G}_1\)에 의하여 결합 법칙이 성립하므로 \((a' \ast a) \ast b = (a' \ast a) \ast c\)이다. 이때 \(a' \ast a=e\)이므로 \(e \ast b=e \ast c\)이다. \(\mathscr{G}_2\)에 의하여 \(e\)는 항등원이므로 \(b=c\)이다.
 역으로 \(b \ast a = c \ast a\)라 하면 같은 \(a' \in G\)에 대하여 \((b \ast a) \ast a'=(c \ast a) \ast a'\)이고, 결합 법칙에 의해 \(b \ast (a \ast a')=c \ast (a \ast a')\)이다. \(a \ast a'=e\)이므로 \(b \ast e=c \ast e\)이다. \(e\)는 항등원이므로 \(b=c\)이다. \(\square\)

 

[4.16 Theorem] 선형 방정식의 유일성

 군 \(\langle G, \ast \rangle\)과 임의의 \(a, b \in G\)에 대하여, 선형 방정식 \(a \ast x = b\)와 \(y \ast a=b\)는 각각 유일한 해 \(x, y \in G\)를 갖는다.

 (존재성) \(a\)의 역원을 \(a'\)라 하자. \(x=a' \ast b\)라 놓으면 \[a \ast x=a \ast (a' \ast b)=(a \ast a') \ast b=e \ast b=b\]를 만족한다. 같은 방식으로 \(y=b \ast a'\)라 놓으면 \[y \ast a=(b \ast a') \ast a=b \ast (a' \ast a)=b \ast e=b\]를 만족한다.
 (유일성) 선형 방정식 \(a \ast x=b\)가 두 해 \(x_1\)과 \(x_2\)를 가지면 \(a \ast x_1=a \ast x_2=b\)에서 좌측 소거 법칙에 의해 \(x_1=x_2\)이다. 같은 방식으로 \(y \ast a=b\)가 두 해 \(y_1\)과 \(y_2\)를 가지면 \(y_1 \ast a=y_2 \ast a=b\)에서 우측 소거 법칙에 의해 \(y_1=y_2\)이다. \(\square\)

 

[4.17 Theorem] 역원의 유일성

 군 \(\langle G, \ast \rangle\)과 임의의 \(a \in G\)에 대하여, 역원 \(a' \in G\)은 유일하다.

 \(a \in G\)이 두 역원 \(a', a'' \in G\)를 갖는다고 가정하자. 그러면 역원의 정의에 의해 \(a \ast a'=e\)이고 \(a \ast a''=e\)이다. 이상에서 \(a \ast a'=a \ast a''\)이고, 좌측 소거 법칙에 의해 \(a'=a''\)이다. \(\square\)

 

[4.18 Corollary] 연산 결과의 역원

 군 \(\langle G, \ast \rangle\)과 임의의 \(a, b \in G\)에 대하여, \((a \ast b)'= b' \ast a'\)이다.

 

반군과 모노이드(semigroup, monoid)

 반군(semigroup)은 결합 법칙이 성립하는 이항 구조이다. 모노이드(monoid)는 결합 법칙이 성립하고 항등원을 갖는 이항 구조이다. 즉, 항등원을 갖는 반군이 모노이드이다.

 

[Exercise 4.38] 결합 법칙이 성립하고 좌항등원과 좌역원을 갖는 이항 구조는 군임을 보이기

 다음과 같은 조건을 만족하는 이항 구조 \(\langle G, \ast \rangle\) 또한 군이다.

1. 임의의 \(a, b, c \in G\)에 대하여, 결합 법칙 \((a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)\)이 성립한다.
2. 임의의 \(x \in G\)에 대하여 \(e \ast x= x\)을 만족하는 좌항등원 \(e \in G\)가 존재한다. 
3. 임의의 \(a \in G\) 각각에 대하여 \(a' \ast a = e\)를 만족하는 좌역원 \(a' \in G\)가 존재한다.

 먼저, 임의의 \(a \in G\)에 대하여 좌역원 \(a' \in G\)가 우역원의 성질도 만족함을 보이자. \(a'\)의 좌역원을 \(a''\)라 하면 \[a \ast a' = e \ast (a \ast a')=(a'' \ast a') \ast (a \ast a')\]이다. 결합 법칙을 만족하므로 괄호를 바꾸면 \[a'' \ast (a' \ast a) \ast a'=a'' \ast (e \ast a')=a'' \ast a'=e\]를 만족한다.
 다음으로, 좌항등원 \(e\)가 우항등원의 성질도 만족함을 보이자. 임의의 \(x \in G\)에 대하여 \(x' \ast x=e\)를 만족하는 좌역원 \(x' \in G\)가 존재한다. 이제 \(x \ast e=x \ast (x' \ast x)\)이다. 결합 법칙이 성립하므로 \(x \ast e=(x \ast x') \ast x\)이다. 위에서 임의의 원소의 좌역원은 또한 우역원임을 보였으므로 \((x \ast x') \ast x=e \ast x=x\)이다. \(\square\)

 같은 방법으로, 결합 법칙이 성립하고 우항등원과 우역원을 갖는 이항 구조 또한 군이다.

 

[4.19-21 Table] 원소가 3개 이하인 군은 동형을 제외하고(up to isomorphism) 1가지씩임을 보이기

 군의 성질 — 선형 방정식의 유일성 — 에 의해 유한집합에서의 연산으로 이루어진 이항 구조가 군이기 위해서는 table 형식으로 만들었을 때 각 행과 열에 모든 원소가 정확히 한 번씩 등장해야 한다. 또한, 항등원이 피연산자가 되는 행과 열은 각각 열과 행의 원소 그대로의 값을 가져야 한다. (결합 법칙은 따로 확인해주어야 하므로 필요충분조건은 아니다.) 이를 만족하는 \(1 \times 1\), \(2 \times 2\), \(3 \times 3\) table은 다음과 같이 각각 유일하다.

\(\ast\)	\(e\)
\(e\)	\(e\)

 

\(\ast\)	\(e\)	\(a\)
\(e\)	\(e\)	\(a\)
\(a\)	\(a\)	\(e\)

 

\(\ast\)	\(e\)	\(a\)	\(b\)
\(e\)	\(e\)	\(a\)	\(b\)
\(a\)	\(a\)	\(b\)	\(e\)
\(b\)	\(b\)	\(e\)	\(a\)